Advanced methods of structural analysis / Igor A. Karnovsky, Olga Lebed.

Contents

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi

Part I Statically Determinate Structures
1 Kinematical Analysis of Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Classification of Structures by Kinematical Viewpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Generation of Geometrically Unchangeable Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Analytical Criteria of the Instantaneously Changeable Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Degrees of Freedom .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 General Theory of Influence Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Analytical Method for Construction of Influence Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Influence Lines for Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Influence Lines for Internal Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Application of Influence Lines for Fixed and

Moving Loads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.1 Fixed Loads .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Moving Loads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Indirect Load Application.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 Combining of Fixed and Moving Load Approaches.. . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5 Properties of Influence Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Multispan Beams and Trusses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1 Multispan Statically Determinate Beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Generation of Multispan Statically

Determinate Hinged Beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2 Interaction Schemes and Load Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
xiii
xiv Contents
3.1.3 Influence Lines for Multispan Hinged Beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.4 Summary .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 The Generation of Statically Determinate Trusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1 Simple Trusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2 Compound Trusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.3 Complex Trusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Simple Trusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4 Trusses with Subdivided Panels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.1 Main and Auxiliary Trusses and Load Path . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.2 Baltimore and SubdividedWarren Trusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5 Special Types of Trusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5.1 Three-Hinged Trusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5.2 Trusses with a Hinged Chain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5.3 Complex Trusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5.4 Summary .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Three-Hinged Arches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1 Preliminary Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.1 Design Diagram of Three-Hinged Arch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.2 Peculiarities of the Arches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.3 Geometric Parameters of Circular and Parabolic Arches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2 Internal Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3 Influence Lines for Reactions and Internal Forces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.1 Influence Lines for Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.2 Influence Lines for Internal Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.3 Application of Influence Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4 Nil Point Method for Construction of Influence Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4.1 Bending Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4.2 Shear Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4.3 Axial Force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.5 Special Types of Arches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.5.1 Askew Arch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.5.2 Parabolic Arch with Complex Tie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

5 Cables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
5.1 Preliminary Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
5.1.1 Direct and Inverse Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
5.1.2 Fundamental Relationships . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

5.2 Cable with Neglected Self-Weight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
5.2.1 Cables Subjected to Concentrated Load . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

Contents xv

5.2.2 Cable Subjected to Uniformly Distributed Load . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

5.3 Effect of Arbitrary Load on the Thrust and Sag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

5.4 Cable with Self-Weight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
5.4.1 Fundamental Relationships . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
5.4.2 Cable with Supports Located at the Same Level . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
5.4.3 Cable with Supports Located on the Different Elevations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

5.5 Comparison of Parabolic and Catenary Cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
5.6 Effect of Axial Stiffness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
5.6.1 Elastic Cable with Concentrated Load. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
5.6.2 Elastic Cable with Uniformly Distributed Load . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140

6 Deflections of Elastic Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145
6.1 Introduction.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145
6.2 Initial Parameters Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
6.3 Maxwell–Mohr Method .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
6.3.1 Deflections Due to Fixed Loads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
6.3.2 Deflections Due to Change of Temperature . . . . . . . . . . . . . . . . .165
6.3.3 Summary .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170

6.4 Displacement Due to Settlement of Supports and Errors of Fabrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170

6.5 Graph Multiplication Method.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176

6.6 Elastic Loads Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185

6.7 Reciprocal Theorems.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
6.7.1 Theorem of Reciprocal Works(Betti Theorem) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
6.7.2 Theorem of Reciprocal Unit Displacements(Maxwell Theorem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190
6.7.3 Theorem of Reciprocal Unit Reactions(Rayleigh First Theorem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192
6.7.4 Theorem of Reciprocal Unit Displacements and Reactions (Rayleigh Second Theorem) . . . . . . . . . . . . . . . . .193
6.7.5 Summary .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193

Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195
Part II Statically Indeterminate Structures

7 The ForceMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211
7.1 Fundamental Idea of the Force Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211
7.1.1 Degree of Redundancy, Primary Unknowns and Primary System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211
7.1.2 Compatibility Equation in Simplest Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214

xvi Contents

7.2 Canonical Equations of Force Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217
7.2.1 The Concept of Unit Displacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217
7.2.2 Calculation of Coefficients and Free Terms of Canonical Equations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219

7.3 Analysis of Statically Indeterminate Structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222
7.3.1 Continuous Beams. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222
7.3.2 Analysis of Statically Indeterminate Frames. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224
7.3.3 Analysis of Statically Indeterminate Trusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233
7.3.4 Analysis of Statically Indeterminate Arches . . . . . . . . . . . . . . . .237

7.4 Computation of Deflections of Redundant Structures . . . . . . . . . . . . . . . .243

7.5 Settlements of Supports .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246

7.6 Temperature Changes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251

Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259

8 The Displacement Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271
8.1 Fundamental Idea of the Displacement Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271
8.1.1 Kinematical Indeterminacy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272
8.1.2 Primary System and Primary Unknowns .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .274
8.1.3 Compatibility Equation. Concept of Unit Reaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .275

8.2 Canonical Equations of Displacement Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276
8.2.1 Compatibility Equations in General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276
8.2.2 Calculation of Unit Reactions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277
8.2.3 Properties of Unit Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279
8.2.4 Procedure for Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .280

8.3 Comparison of the Force and Displacement Methods . . . . . . . . . . . . . . . .291
8.3.1 Properties of Canonical Equations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292

8.4 Sidesway Frames with Absolutely Rigid Crossbars . . . . . . . . . . . . . . . . . .294

8.5 Special Types of Exposures .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .296
8.5.1 Settlements of Supports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .296
8.5.2 Errors of Fabrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300

8.6 Analysis of Symmetrical Structures .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302
8.6.1 Symmetrical and Antisymmetrical Loading.. . . . . . . . . . . . . . . .302
8.6.2 Concept of Half-Structure .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .303

Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .305

9 MixedMethod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313
9.1 Fundamental Idea of the Mixed Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313
9.1.1 Mixed Indeterminacy and Primary Unknowns .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313
9.1.2 Primary System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .314

9.2 Canonical Equations of the Mixed Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .316
9.2.1 The Matter of Unit Coefficients and Canonical Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .316

Contents xvii

9.2.2 Calculation of Coefficients and Free Terms . . . . . . . . . . . . . . . . .317
9.2.3 Computation of Internal Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .318

Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .319

10 Influence Lines Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323
10.1 Construction of Influence Lines by the Force Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323
10.1.1 Continuous Beams. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .325
10.1.2 Hingeless Nonuniform Arches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331
10.1.3 Statically Indeterminate Trusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339

10.2 Construction of Influence Lines by the Displacement Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .344
10.2.1 Continuous Beams. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .346
10.2.2 Redundant Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353
10.3 Comparison of the Force and Displacements

Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .355
10.4 Kinematical Method for Construction of Influence Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .358

Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .364

11 Matrix Stiffness Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .369
11.1 Basic Idea and Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .369
11.1.1 Finite Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .370
11.1.2 Global and Local Coordinate Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .370
11.1.3 Displacements of Joints and Degrees of Freedom.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .371

11.2 Ancillary Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .372
11.2.1 Joint-Load (J -L) Diagram.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .372
11.2.2 Displacement-Load (Z-P) Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .376
11.2.3 Internal Forces-Deformation (S-e)Diagram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .377

11.3 Initial Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .379
11.3.1 Vector of External Joint Loads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .379
11.3.2 Vector of Internal Unknown Forces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .380

11.4 Resolving Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .381
11.4.1 Static Equations and Static Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .381
11.4.2 Geometrical Equations and Deformation Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .386
11.4.3 Physical Equations and Stiffness Matrix in Local Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .387

11.5 Set of Formulas and Procedure for Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .390
11.5.1 Stiffness Matrix in Global Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .390
11.5.2 Unknown Displacements and Internal Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .391
11.5.3 Matrix Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392

xviii Contents

11.6 Analysis of Continuous Beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .393
11.7 Analysis of Redundant Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .404
11.8 Analysis of Statically Indeterminate Trusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .410
11.9 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .414

Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415

Part III Special Topics

12 Plastic Behavior of Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .423
12.1 Idealized Stress–Strain Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .423
12.2 Direct Method of Plastic Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .427
12.3 Fundamental Methods of Plastic Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .430
12.3.1 Kinematical Method .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .430
12.3.2 Static Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .430
12.4 Limit Plastic Analysis of Continuous Beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432
12.4.1 Static Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .433
12.4.2 Kinematical Method .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .435
12.5 Limit Plastic Analysis of Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .441
12.5.1 Beam Failure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .442
12.5.2 Sidesway Failure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444
12.5.3 Combined Failure .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444
12.5.4 Limit Combination Diagram .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444

Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .445

13 Stability of Elastic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .449
13.1 Fundamental Concepts .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .449
13.2 Stability of Structures with Finite Number Degrees of Freedom.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .453
13.2.1 Structures with One Degree of Freedom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .453
13.2.2 Structures with Two or More Degrees of Freedom.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .458

13.3 Stability of Columns with Rigid and Elastic Supports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .461
13.3.1 The Double IntegrationMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .461
13.3.2 Initial Parameters Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .466

13.4 Stability of Continuous Beams and Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .471
13.4.1 Unit Reactions of the Beam-Columns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .471
13.4.2 Displacement Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .473
13.4.3 Modified Approach of the Displacement Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .481

13.5 Stability of Arches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .483
13.5.1 Circular Arches Under Hydrostatic Load . . . . . . . . . . . . . . . . . . .484
13.5.2 Complex Arched Structure: Arch with Elastic Supports .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .490

Contents xix

13.6 Compressed Rods with Lateral Loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .491
13.6.1 Double IntegrationMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .492
13.6.2 Initial Parameters Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .494
13.6.3 P-Delta Analysis of the Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .499
13.6.4 Graph Multiplication Method for Beam-Columns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .502

Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .504

14 Dynamics of Elastic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .513
14.1 Fundamental Concepts .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .513
14.1.1 Kinematics of Vibrating Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .513
14.1.2 Forces Which Arise at Vibrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .513
14.1.3 Degrees of Freedom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .515
14.1.4 Purpose of Structural Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .519
14.1.5 Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .519

14.2 Free Vibrations of Systems with Finite Number Degrees of Freedom: ForceMethod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .520
14.2.1 Differential Equations of Free Vibration in Displacements 520
14.2.2 Frequency Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .521
14.2.3 Mode Shapes Vibration and Modal Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . .522

14.3 Free Vibrations of Systems with Finite Number Degrees of Freedom: Displacement Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .530
14.3.1 Differential Equations of Free Vibration in Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .530
14.3.2 Frequency Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .532
14.3.3 Mode Shape Vibrations and Modal Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . .532
14.3.4 Comparison of the Force and Displacement

Methods .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .538

14.4 Free Vibrations of One-Span Beams with Uniformly DistributedMass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .538
14.4.1 Differential Equation of Transversal Vibration of the Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .540
14.4.2 Fourier Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .541
14.4.3 Krylov–Duncan Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .543

Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .546

Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .551

Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .587

Index . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .589

Includes bibliographical references (p. 587-588) and index.