Environmental Modeling: Using Matlab

Part I Primer to Modeling with MATLAB®
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Environmental Modeling Using MATLAB® . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Introduction to MATLAB® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Getting Started with MATLAB® . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Matrices in MATLAB® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Basic Matrix Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 A Simple Environmental Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 MATLAB® Graphics – The Figure Editor . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 MATLAB® Help System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Fundamentals of Modeling, Principles and MATLAB® . . . . . . . . . 35
2.1 Model Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Modeling Steps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Fundamental Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Conservation of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Conservation of Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.3 Conservation of Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Continuity Equation for Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5 MATLAB® M-files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Ifs and Loops in MATLAB® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.7 Debugging of M-files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1 The Conservation Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Fick’s Law and Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.1 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
xv
3.3 The Transport Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.1 Mass Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.2 Fourier’s Law and Heat Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4 Dimensionless Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5 Boundary and Initial Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4 Transport Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1 1D Transient Solution for the Infinite Domain . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 A Simple Numerical Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 Comparison Between Analytical and Numerical Solution . . . . . . 88
4.4 Numerical Solution Using MATLAB® pdepe . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5 Example: 1D Inflow Front . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5 Transport with Decay and Degradation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1 Decay and Degradation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 1D Steady State Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3 Dimensionless Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 Transient Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6 Transport and Sorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1 Interphase Exchange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2 Retardation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3 Analytical Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4 Numerical Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.5 Slow Sorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.6 MATLAB® Animations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7 Transport and Kinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.2 Law of Mass Action for Kinetic Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.3 Monod, Michaelis–Menten and Blackwell Kinetics . . . . . . . . . . 137
7.4 Bacteria Populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.5 Steady States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8 Transport and Equilibrium Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.1 Introductory Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.2 The Law of Mass Action for Equilibrium Reactions . . . . . . . . . . 151
8.3 Speciation Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.4 Sorption and the Law of Mass Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.5 Transport and Speciation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
xvi Contents
9 Ordinary Differential Equations: Dynamical Systems . . . . . . . . . . 169
9.1 Streeter-Phelps Model for River Purification . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.2 Details of Michaelis–Menten or Monod Kinetics . . . . . . . . . . . . 173
9.3 1D Steady State Analytical Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
9.4 Redox Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10 Parameter Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.2 Polynomial Curve Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.3 Exponential Curve Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.4 Parameter Estimation with Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
10.5 Transport Parameter Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10.6 General Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Part II Advanced Modeling Using MATLAB®
11 Flow Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
11.1 The Navier-Stokes Equations for Free Fluids . . . . . . . . . . . . . . 218
11.2 The Euler Equations and the Bernoulli Theorem . . . . . . . . . . . . 224
11.3 Darcy’s Law for Flow in Porous Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
11.4 Flow in Unsaturated Porous Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12 Groundwater Drawdown by Pumping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.1 Confined Aquifer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.2 Unconfined Aquifer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
12.3 Half-confined Aquifer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
12.4 Unsteady Drawdown and Well Function . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
12.5 Automatic Transmissivity Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
13 Aquifer Baseflow and 2D Meshing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
13.1 1D Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
13.2 1D Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
13.3 2D Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
13.4 Meshs and Grids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
14 Potential and Flow Visualization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
14.1 Definition and First Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
14.2 Potential and Real World Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
14.3 Example: Groundwater Baseflow and Well . . . . . . . . . . . . . . . 270
14.4 MATLAB® 2D Graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
14.5 MATLAB® 3D Graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Contents xvii
15 Streamfunction and Complex Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
15.1 Streamfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
15.2 The Principle of Superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
15.2.1 The Doublette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
15.2.2 Mirror Wells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
15.3 Complex Analysis and Complex Potential . . . . . . . . . . . . . . . . 291
15.4 Example: Vortices or Wells Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
15.5 Example: Thin Objects in Potential Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
16 2D and 3D Transport Solutions (Gaussian Puffs and Plumes) . . . . 303
16.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
16.2 2D Instantaneous Line Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
16.3 2D Constant Line Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
16.4 3D Instanteneous Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
16.5 3D Constant Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
17 Image Processing and Geo-Referencing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
17.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
17.2 Reading and Display . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
17.3 Geo-Referencing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
17.4 Digitizing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
17.5 MATLAB® Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
18 Compartment Graphs and Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
18.1 Compartments and Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
18.2 Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
18.3 Eigenvalues and Phase Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
19 Nonlinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
19.1 Logistic Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
19.2 Competing Species . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
19.3 Predator–Prey Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
19.4 Chaos (Lorenz Attractor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
20 Graphical User Interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
20.1 The MATLAB® Guide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
20.2 The Transport GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
21 Numerical Methods: Finite Differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
21.1 Introductory Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
21.2 Finite Differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
21.3 A Finite Difference Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
xviii Contents
21.4 Solution for the 2D Poisson equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
21.5 Solution for the 2D Diffusion-Decay Equation . . . . . . . . . . . . . 392
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
Supplements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
Supplement 1: MATLAB® Data Import . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
Supplement 2: Data Export . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
Supplement 3: Data Presentation in a Histogram . . . . . . . . . . . . . . . . 398
Epilogue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
MATLAB1 Command Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
Companion Software List . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

Doi 10.1007/978-3-642-22042-5